Programas de Otimização
Análise de prioridades com atributos múltiplos
Análise de prioridades com atributos múltiplos
A análise de prioridades com atributos múltiplos evoluiu a partir de várias disciplinas incluindo a psicologia, a engenharia e a ciência gerencial. Começou a desenvolver-se em 1961 e completou-se em 1968.
A opção solução analítica pela análise de prioridades com atributos múltiplos é escolhida pelos pontos que ela conseguir angariar. A opção de proteção que tiver o maior número de pontos receberá a preferência ou a prioridade sobre os demais. Se duas opções empatarem não haverá preferência de uma sobre a outra.
Além de especificar os fatores e quantificar as opções deve-se incluir critérios para classificar a importância de cada fator em relação aos demais.
Como critério, introduz-se uma função de prioridade parcial uj para cada fator j, a qual fornece a conveniência relativa do possível resultado para o fator j. A cada fator j é atribuída uma prioridade parcial uj=1 ao melhor resultado ou consequência de menor adversidade (ex: custo menor, dose coletiva mínima etc) e uma prioridade parcial uj=0 para a pior consequência. Os demais valores serão intermediados entre zero e um.
Introduz-se também a função com atributos múltiplos Ui, que representa a figura de mérito ou “prioridade total” para cada opção i. Esta função pode ser expressada de uma forma aditiva, válida quando todos os fatores são independentes entre si:
Onde
N é o número de fatores
ui,j é a função de prioridade parcial que representa a figura de mérito da opção i para o fator j
kj é uma constante de crescimento que expressa a importância relativa ou o elemento de ponderação atribuído a cada fator j
Geralmente as constantes de crescimento são normalizadas de modo que Σkj=1. A solução analítica é dada pela opção de proteção que torna U máximo.
Considerando a técnica de ajuda para a tomada de decisão denominada de análise de prioridades com atributos múltiplos, ainda que existam vários métodos para a geração das funções de prioridade parcial uj, há um sugerido pela CIPR para a determinação de valores singulares uj,i válida quando o número de opções de proteção for maior do que dois:
Aquela desenvolvida por Keeney e Raffa entre 1976 e 1980. Ela consiste em atribuir uma prioridade parcial singular igual a zero para o pior valor X0, como por exemplo maior custo maior dose coletiva etc e um valor singular de um para o melhor valor X*, como por exemplo menor custo, menor dose coletiva. Os demais desempenhos terão valores entre zero e um.
Os valores entre zero e um não necessitam ser lineares, mas podem ser representados por qualquer curva que se queira como porções lineares em uma curva exponencial, curva logarítmica, curva potencial etc, mas a preferência é sempre a exponencial. Para esta última, necessita-se obter um terceiro ponto para individualizá-la.
Para determinar os valores singulares da função de prioridade parcial uj,i, fazendo uso da curva exponencial, podem ser usadas as expressões matemáticas:
a - be–cx para a curva côncava crescente com a>0, b>0 e c>0 e para a curva côncava decrescente com a>0, b>0 e c<0.
a + becx para a curva convexa crescente com a>0, b>0 e c>0 e para a curva convexa decrescente com a>0, b>0 e c<0.
Para caracterizá-la, é necessário o conhecimento de pelo menos um terceiro ponto. A posição relativa destes 3 pontos permite determinar a forma geral da função de prioridade com atributo singular como um aumento ou decréscimo da função côncava ou convexa.
As constantes a, b e c são calculadas a partir das coordenadas dos 3 pontos. Estas coordenadas podem ser obtidas pelo tomador de decisão que tem a possibilidade de conhecer, por exemplo, o ponto x tal que u (x) = 1/2.
Para se determinar os valores singulares da função de prioridade parcial uj,i, no caso da curva exponencial, pode ser determinado o terceiro ponto, além das extremidades cujos valores são conhecidos:
Pelo conhecimento de um ponto X para o qual u(X)=1/2 e pela resposta a várias questões, como por exemplo:
a. Basear a escolha nas extremidades e no ponto médio (X0+X*)/2
b. Respondendo qual é a situação preferida entre as duas expostas a seguir:
Existe uma consequência (X0+X*)/2
Existe uma probabilidade de 0,5 para a consequência X0 e também para a consequência X*.
Neste caso, são possíveis 3 respostas, a saber:
1. As duas situações são equivalentes, então, as prioridades associadas a elas também são equivalentes de modo que
u[(X0+X*)/2]=[u(X0)+u(X*)]/2
pois X0=X*, e a função de prioridades com atributo parcial singular é linear
u(X)= A+B+CX com
- A,B,C>0 para as funções crescentes
- A,B>0 e C<0 para as funções decrescentes
2. Se a primeira distribuição for preferida, teremos:
u[(X0+X*)/2]>[u(X0)+u(X*)]/2
A função de prioridade é côncava decrescente e corresponde à denominada “atitude de risco adverso”.
3. Se a segunda distribuição for preferida, teremos:
u[(X0+X*)/2]<[u(X0)+u(X*)]/2
A função de prioridade é convexa decrescente e corresponde à denominada “atitude de risco propenso”.
Curvas escolhidas para a determinação dos valores singulares das funções de prioridade parciais dos seguintes fatores: custo de proteção, dose coletiva e dose individual máxima:
- Custo de proteção: a forma da curva é linear.
- Dose coletiva: a forma da curva é linear.
- Dose individual máxima: a forma da curva é côncava decrescente.
As constantes de crescimento kj na técnica de ajuda para a tomada de decisão podem ser determinadas:
- Pela avaliação direta
- Pela avaliação por razões de substituição
As constantes de crescimento kj, na técnica de avaliação direta, constantes essas isoladas podem ser determinadas impondo que a importância de cada fator é proporcional ao seu intervalo de variação, isto é, X*- X0, para em seguida serem normalizadas. O problema desta técnica é que ela é muito parcial, uma vez que se um fator tiver um intervalo entre o seu melhor valor e o pior muito grande com relação aos demais fatores, ele predominará sobre os outros.
As constantes de crescimento, kj, pela técnica de avaliação por razões de substituição podem ser determinadas dispondo a importância de cada fator em ordem decrescente de acordo com a conveniência do tomador de decisão e a seguir ela estabelece a importância relativa de cada fator percentualmente com relação ao fator mais importante. Por fim esses valores são normalizados.
Exemplo da pequena mina de urânio
Os 4 fatores na análise:
- custo de proteção
- dose coletiva
- distribuição de doses individuais
- desconforto provocado pelas grandes taxas de ventilação
1. Reproduzir as soluções analíticas obtidas por meio das análises custo-benefício integral e expandida, seguindo os mesmos passos.
2.Obter a solução analítica introduzindo o fator desconforto, de maneira quantitativa e usando todos os fatores pertinentes.
Esta técnica aceita também fatores não lineares e para tanto será usada a dose individual máxima próxima ao limite de dose. Isto tem alguns aspectos em comum com a atribuição do custo por unidade de dose coletiva como função do valor da dose mas não tem, exatamente, o mesmo valor e nem é governado pelo mesmo critério: α = F(D).
Pontos importantes a considerar:
- As formas atribuídas às funções de prioridade parciais
- A derivação das funções de crescimento
ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO INTEGRAL
Na análise custo-benefício simples está implícita a hipótese de que no intervalo de variação dos custos, qualquer mudança de um custo independe de sua posição dentro do intervalo (início, meio ou fim). Portanto, a variação do custo é linear assim como serão também lineares as funções de prioridade parciais.
Função de prioridade parcial para o custo de proteção anual para as opções consideradas no exemplo da mina de urânio:
Função de prioridade parcial para a dose coletiva anual para as opções consideradas no exemplo da mina de urânio:
Se já houver sido recomendado um valor referencial (critério) para a dose coletiva unitária (ex: α = us$ 20,000.00), as constantes de crescimento devem atender a este valor.
Podemos usar a técnica de avaliação direta para determinar as constantes de crescimento de modo que a constante de crescimento para o custo de proteção, k(X), está para o intervalo de custo de proteção, R(X), assim como a constante de crescimento da dose coletiva, k(S), está para o intervalo de custo de detrimento, αR(S), onde R(S) é o intervalo de doses coletivas.
k(X) / R(X) = K(S) / αR(S)
k(X) + k(S) = 1 (1)
De acordo com a TABELA 5 temos:
- R(X) = US$ 35,500 - US$ 10,400 = US$ 25.100
- R(S) = 0.561 - 0.178 = 0.383 Sv-pessoa
Substituindo em (1):
- k(X) = 0.77
- k(S) = 0.23
Com esses valores monta-se a tabela e encontra-se a solução analítica:
|
Opção da Proteção |
Custo Anual da Proteção X US$ |
Dose Coletiva Anual S Sv.pes |
Prioridades Parciais |
Prioridades Parciais com Crescimento |
Prioridades Totais Uj | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u(X) | u(S) | k(X)u(X) | k(S)u(S) | ||||
| 1 | 10.400 | 0,561 | 1 | 0 | 0,77 | 0 | 0,77 |
| 2 | 17.200 | 0,357 | 0,729 | 0,533 | 0,56 | 0,12 | 0,68 |
| 3 | 18.500 | 0,335 | 0,677 | 0,590 | 0,52 | 0,14 | 0,66 |
| 4 | 32.200 | 0,196 | 0,131 | 0,953 | 0,10 | 0,22 | 0,32 |
| 5 | 35.500 | 0,178 | 0 | 1 | 0 | 0,23 | 0,23 |
ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO EXPANDIDA
Deve-se considerar as funções de prioridade sugeridas no tratamento da dose coletiva usando os termos β. Estas funções são supralineares mas foram consideradas como três funções lineares distintas nas 3 regiões de dose individual em que foram definidas.
A análise de prioridade com atributos múltiplos é conduzida no mesmo formato, ainda que isto acarrete uma montagem para cada faixa de dose coletiva, como um fator separado, com uma prioridade parcial linear.
Para se obter as constantes de crescimento, os valores de R(Sn) para as 3 regiões de dose coletiva e o intervalo R(S) correspondente ao termo β, foram tirados da TABELA 5
R(S) = 0,561 - 0,178 = 0,383
R(S1) = 0
R(S2) = (4 x 12,6 + 9 x 8,4) x 10-3 - 0 = 0,126
R(S3) = 0,561 - (4 x 15,8) x 10-3 = 0,498
As equações que definem as constantes de crescimento são:
Rearranjando os termos de (2) temos:
k(Sn) = βn R(Sn) k(X) / R(X)
Fazendo as substituições:
k(S) = 20.000 x 0,383 k(X) / 25.100 = 0,305 k(X)
k(S1) = 0 x k(X) / 25.100 = 0 x k(X)
k(S2) = 40.000 x 0,126 k(X) / 25.100 = 0,201 k(X)
k(S3) = 80.000 x 0,498 k(X) / 25.100 = 1,587 k(X)
k(X) + k(S) + k(S1) + k(S2) + k(S3) = 1
k(X) + 0,305 k(X) + 0,201 k(X) + 1,587 k(X) = 1
3,093 k(X) = 1 → k(X) = 0,323
k(S) = 0,305 x 0,323 = 0,099
k(S2) = 0,201 x 0,323 = 0,065
k(S3) = 1,587 x 0,323 = 0,513
Análise de prioridades parciais e propriedades totais que correspondem à analise custo-beneficio espandida para as opções consideradas:
|
Opção da Proteção |
Prioridades Parciais |
Prioridades Parciais com Crescimento |
Prioridades Totais Ui | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u(X) | u(S) | u(S2) | u(S3) | k(X)u(X) | k(S)u(S) | k(S2)u(S2) | k(S3)u(S3) | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0323 | 0 | 0,065 | 0 | 0,388 |
| 2 | 0,729 | 0,533 | 1 | 0,410 | 0,235 | 0,053 | 0,065 | 0,210 | 0,563 |
| 3 | 0,677 | 0,590 | 1 | 0,454 | 0,219 | 0,058 | 0,065 | 0,233 | 0,575 |
| 4 | 0,131 | 0,953 | 0 | 0,986 | 0,042 | 0,094 | 0 | 0,506 | 0,642 |
| 5 | 0 | 1 | 0,087 | 1 | 0 | 0,098 | 0,006 | 0,514 | 0,618 |
ANÁLISE DE PRIORIDADE COM ATRIBUTOS MÚLTIPLOS EM SEU PRÓPRIO CONTEXTO
Uma maneira de alcançar este objetivo seria atribuir uma função não linear ao fator “dose individual máxima" e manter as funções parciais lineares para o custo de proteção anual, para a dose coletiva anual e para ventilação.
Exemplo da mina
Na aplicação desta técnica ao exemplo da mina de urânio, é importante notar que:
1. Os valores da importância relativa dos elementos de crescimento são atribuídos diretamente, ainda que sejam semelhantes àqueles atribuídos via análise custo benefício. São eles:
k(x) = k(s) = k(d) = 2/7 e k(v) = 1/7
2. As prioridades resultantes deste modelo são as mesmas que as do modelo anterior, para os fatores que foram tratados do mesmo modo: custo de proteção, dose coletiva e desconforto.
3. Um novo conjunto de prioridades para a dose individual máxima substitui os três conjuntos formados pelos termos β.
A dose individual máxima caracteriza a distribuição de dose e a sua função de prioridade parcial corresponde a um risco de atitude adversa.
Usando a dose individual máxima como um fator que caracteriza a distribuição de dose, a equação que a representa é uma função de risco adverso decrescente descrita por:
u(x) = a - b e-cx (a > 0; b > 0 ; c < 0)
Definida pelos pontos ( x, u(x)): (15,8; 1), (40,8; 0) e (25,0; 0,8). Os dois primeiros pontos foram tomados da TABELA 5 e o terceiro foi escolhido pelo tomador de decisão, por meio da curva b da figura 11.
Deteminando-se os valores de a, b, c obtemos:
u(di) = 1,243 - 0,243 exp[0,065(di - 15,8)
Propriedades parciais para cada fator para as opções consideradas usando a análise alternativa de propriedades com atributos multiplos:
|
Opção da Proteção |
Custo Anual Prot. X US$ |
Dose Col. Anual S Sv.pes |
Dose Ind. Anual Máx. d mSv |
Desconforto da Ventilação V |
Prioridades Parciais | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u(X) | u(S) | u(d) | u(V) | |||||
| 1 | 10.400 | 0,561 | 40,8 | Sem problemas | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 17.200 | 0,357 | 28,4 | Leves | 0,729 | 0,533 | 0,690 | 0,75 |
| 3 | 18.500 | 0,335 | 26,0 | Leves | 0,677 | 0,590 | 0,770 | 0,75 |
| 4 | 32.200 | 0,196 | 17,5 | Graves | 0,131 | 0,953 | 0,971 | 0,25 |
| 5 | 35.500 | 0,178 | 15,8 | Difícil de se trabalhar | 0 | 1 | 1 | 0 |
Com os valores atribuídos às constantes de crescimento dadas no item, monta-se a tabela do exemplo da mina na qual encontramos a solução analítica:
| Opção da Proteção | Prioridades parciais com crescimento |
Prioridades Totais Ui |
|||
|---|---|---|---|---|---|
| k(X)u(X) | k(S)u(S) | k(d)u(d) | k(V)u(V) | ||
| 1 | 0,286 | 0 | 0 | 0,143 | 0,429 |
| 2 | 0,208 | 0,152 | 0,197 | 0,107 | 0,664 |
| 3 | 0,193 | 0,169 | 0,220 | 0,107 | 0,689 |
| 4 | 0,037 | 0,272 | 0,277 | 0,036 | 0,622 |
| 5 | 0 | 0,286 | 0,286 | 0 | 0,572 |
Mesmo com os elementos de crescimento completamente diferentes e com o uso de um conjunto diferente de fatores, o resultado da solução analítica não é afetado. A opção 3 continua sendo apontada como ótima, mostrando que o resultado global de uma análise depende dos dados de entrada e dos critérios especificados e não dos detalhes da técnica analítica.
Links Relacionados
Publicações